Instytut Informatyki UG

Informacje ogólne

Program

[B]Podstawowe pojęcia[/B][ol]
• Przestrzeń topologiczna (Hausdorffa), zbieżność ciągu i ciągłość odwzorowania. Pojęcie bazy.
• Przestrzeń metryczna. Ciąg Cauchy'ego. Zupełność. Topologia indukowana przez metrykę. Przykłady. Przestrzeń funkcji ciągłych C[a,b]
• Uzupełnienie przestrzeni metrycznej. Przykład: określenie przestrzeniLebesgue'a L(a,b) przez uzupełnienie przestrzeni C[a,b] .
• Metoda odwzorowań zwężających w zupełnej przestrzeni metrycznej.Zastosowania: badanie równań nieliniowych (równania całkowe, zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego zwyczajnego pierwszegorzędu).
• Definicje i najprostsze własności pewnych podstawowych klas przestrzeniliniowo-topologicznych (patrz załączony schemat).[/ol][br]
  [B]Podstawowe własności przestrzeni Banacha[/B][ol]
• Przestrzenie unormowane, przestrzenie Banacha i ich najprostsze własności geometryczne. Przykłady, kiedy: kula jest zbiorem niezwartym(układ elementów liniowo niezależnych jest nieskończony), sfera ma wsobie odcinek prostej, i inne. Relacja równoważności dla norm.
• Odwzorowanie liniowe A : X -> Y w przestrzeniach unormowanychi przestrzeniach Banacha. Ograniczoność (na sferze jednostkowej) iciągłość (w punkcie 0). Ker A, A[sup]-1[/sup] , Im A. Przestrzeń odwzorowań liniowych L(X, Y) , norma odwzorowania A.
• Przestrzeń funkji ciągłych C[a, b] . Norma. Zupełność. Równoważnenormy. Przestrzeń Lebesgue'a L(a, b) .
• Nierówności Junga, Holdera i Minkowskiego. Przestrzeń L[sub]p[/sub](a,b) funkcjicałkowalnych w p-tej potędze, p > l . Przestrzeń l[sub]p[/sub] ciągów zbieżnychw p-tej potędze.
• Przestrzenia C[sup]m[/sup][a,b] i W[sup]m[/sup](a,b). Równoważne normy. Iloczyn przestrzeni unormowanych. Pojęcia podprzestrzeni oraz przestrzeni ilorazowej. Przykłady.
• Twierdzenie Hahna-Banacha. Twierdzenie o domkniętym wykresie.
• Funkcjonał liniowy w przestrzeni Banacha X, jego jądro. Przestrzeńsprzężona X% . Zanurzenie przestrzeni unormowanej w przestrzeń drugąsprzężona. Przestrzenie refleksywne i niektóre ich własności. Twierdzenie Banacha-Steinhausa.
• Przestrzenie sprzężone dla C[a,b] , L[sub]p[/sub](a,b) i l[sub]p[/sub] . Odwzorowaniasprzężone, przykłady.
• Słabe topologie i słaba zbieżność. Zbieżność po rodzinie półnorm. Słabai silna zbieżność w przestrzeniach X i X%. Twierdzenie o słabejzwartości kuli w przestrzeni sprzężonej. Zbieżność punktowa (słabalub silna) i jednostajna w przestrzeni odwzorowań liniowych ciągłychL(X,Y).[/ol][br]
  [B]Podstawowe własności przestrzeni Hilberta[/B][ol]
• Definicja i przykłady przestrzeni Hilberta: R[sup]n[/sup], l[sub]2[/sub], iL[sub]2[/sub](a,b) i przestrzenie Sobolowa W[sub]2[/sub][sup]m[/sup](a,b) .
• Podstawowe geometryczne własności rzeczywistych i zespolonych przestrzeni Hilberta. Ortogonalność. Nierówność Schwarza i twierdzeniePitagorasa.
• Tożsamość równoległoboku. Wzór polaryzacyjny na iloczyn skalarny.
• Odległość punktu od prostej w przestrzeniach Banacha i Hilberta. Projekcja ortogonalna na podprzestrzeń liniową domkniętą.
• Własności zbiorów wypukłych w przestrzeni Hilberta. Ostra wypukłośćkuli. Optymalizacja w zbiorze wypukłym.
• Twierdzenie Riesza o postaci funkcjonału liniowego w przestrzeni Hilberta. Samosprzężoność przestrzeni.
• Operatory w przestrzeni Hilberta. Operator sprzężony. Operatorysamosprzęźone, unitarne i normalne. Operator sprzężony do operatomcałkowego w przestrzeni L[sub]2[/sub](a,b) .[/ol][br]
  [B]Bazy w przestrzeniach Banacha i Hilberta[/B][ol]
• Definicja bazy w przestrzeni Banacha, baza unormowana.
• Bazy Schaudera w przestrzeniach Banacha C[a,b] i L(a, b) .
• Bazy ortogonalne i bazy Fouriera (ortonormalne) w przestrzeni Hilberta.
• Ortogonalizacja bazy. Twierdzenie Schmidta. Wielomiany ortogonalnew L[sub]2[/sub](-1,+1).
• Nierówność Bessela i równość Parsevala. Szeregi Fouriera w przestrze-niach l[sub]2[/sub] i L[sub]2[/sub] (-pi, +pi).[/ol]
  
  

Sposób zaliczenia

Literatura

• A. Alexiewicz - Analiza funkcjonalna, PWN 1968.
• J. Musielak - Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN 1989.