Monograf  2001/2002
V rok  -  Matematyka  UwB
Rozmaite q-rozszerzenia exponencjalnej funkcji – zestaw No 6
odnowione wspomnienie
grudzień  2004

Zadanie 1.   Proszę sprawdzić poniższe stwierdzenia (jakie?) pod względem ich prawdziwości.

Np.                                                                (*)
Istotnie:   przypominam   oznaczenia:	n  N  {};

wtedy    
Oczywiście:

Oczywiście:
                                                                     
{.....a przy okazji   
                                                   ;          ;

Oczywiście: to jest właśnie zielona funkcja tworząca dla ciągu {p(n)} partycji liczby n.}

Dalej:	Na podstawie q – dwumiennego twierdzenia  (patrz  Appendix):
                                                                                                            (**)
wnioskuję, że

skąd

czyli 		(**)  (*)     &     (**)    (*)         

Na koniec    &    czyli :

          &           

Oczywiście:                                     ;

Oczywiście:
  czyli   

czyli

                                 ;          

za chwilę , to jest na następnej stronie , znowu pojawi się Nam
potęgowa  zielona funkcja tworząca dla ciągu {p(n)} partycji liczby n  jest 
Appendix
q – binomial theorem:

(q =1)		                          
	
(0<q<1)

Jeśli w powyższej  formule      a także  gdy    a      to   (&) 

(&)                                       

Oczywiście:  potęgowa  zielona funkcja tworząca dla ciągu {p(n)} partycji liczby n  jest postaci :

 = ;         

Bibliografia podręczna:

[01]   G. Gasper , M. Rahman,   “Basic Hypergeometric Series”,   Encyclopedia of 
Mathematics and its Applications ; Edited by G.-C. Rota ;  Cambridge University Press, 1990
[02]   G. E. Andrews , “The Theory of Partitions”, 1976 , London  , Addison-Wesley 
                                                                                                              Publishing Company 
q - calculus – (Gauss, Heine, Thomae, Jackson ..., Andrews , ...)
kilka tysięcy odniesień   (via links)
patrz:
[03]  A.K.Kwaśniewski   First contact remarks on umbra difference
calculus references streams    ArXiv: math.CO/0403139 v1  8 March    2004
in press (December 2004)

ad  

the member of  the       Institute of Combinatorics and Applications   
   a.k.kwaśniewski                                                                                                       a.k.k.